空间后方交会

空间后方交会，是指利用航摄像片上三个以上不在一条直线上的控制点按共线方程计算该像片外方位元素的方法。是单幅影像解析过程中的一个步骤。

空间后方交会定义

如果我们知道每幅影像的6个外方位元素，就能确定被摄物体与航摄影像的关系。因此，如何获取影像的外方位元素，一直是摄影测量工作者所探讨的问题。可采取的方法有：利用雷达、全球定位系统（GPS）、惯性导航系统（INS）以及星相摄影机来获取影像的外方位元素；也可利用影像覆盖范围内一定数量的控制点的空间坐标与影像坐标，根据共线条件方程反求该影像的外方位元素，这种方法称为单幅影像的空间后方交会。

空间后方交会基本思想

以单幅影像为基础，从该影像所覆盖地面范围内的若干控制点的已知地面坐标和相应点的像坐标量测值出发，根据共线条件方程，运用最小二乘间接平差，求解该影像在航空摄影时刻的外方位元素

由于共线方程是非线性函数，为了运用最小二乘法，必须先将其线性化。

共线条件方程的线性化

某一点的共线方程为：

式中

为这一点的像平面坐标，

为影像的内方位元素，

为摄站点的物方空间坐标，

为这一点的物方空间坐标。

为影像旋转矩阵的九个元素，即：

因为未知数是外方位元素，所以将共线方程视为外方位元素的函数。设外方位元素的近似值为

，将共线方程在外方位元素近似值处一阶泰勒展开，得：

式中

是把外方位元素近似值代入共线方程中得到的

列出误差方程

将控制点对应的像点的像平面坐标视为观测值，外方位元素视为参数，由共线方程的线性形式可列出误差方程：

式中

为控制点对应的像点的像平面坐标，

为像平面坐标的改正数，

为参数的改正数。

以上两个方程为一个控制点列出。如果有

个控制点，则可以列出

个方程。当

时就可求解。

空间后方交会详细计算

获取已知数据

为了做空间后方交会，需要知道影像比例尺

、内方位元素

、控制点的空间坐标

，及其对应像点的像平面坐标

。

影像比例尺可以从摄影资料中查取，也可以利用控制点的空间坐标和其对应像点的像平面坐标进行计算。

确定参数初值

参数的初值即

。在竖直航空摄影且地面控制点大体对称分布的情况下，可按如下方法确定初值：

可在航迹图上找出，或根据控制点坐标通过坐标正反变换求出。

计算旋转矩阵

利用角元素近似值计算方向余弦，组成旋转矩阵

下面列出三个矩阵相乘的结果供计算

计算像点坐标近似值

利用参数的近似值，按共线方程计算各个控制点对应像点的像平面坐标近似值

计算误差方程系数矩阵和常数项

一个控制点对应的误差方程为

写成矩阵形式为

其中

系数矩阵

中的元素均为偏导数。为了计算这些偏导数，引入以下记号：

由于推导过程较为复杂，此处省略，直接给出结果：

对每一个控制点，计算其对应的方程的系数矩阵

、常数项

，然后联立起来，得：

记为

计算法方程系数矩阵和常数项

按最小二乘原理，取权阵为单位阵，则法方程为

这一步骤需要计算出

和

求解参数

按下式可求得

的值，即外方位元素的改正数

再将改正数与参数近似值相加，即得后方交会要求解的外方位元素的值。

迭代

通常情况下，按以上步骤求得的外方位元素改正数

太大，还不能满足实际需求，因此需要迭代。将第7步解得的外方位元素的值作为新的外方位元素近似值，代入第3步，再次开始计算。如此反复，直至外方位元素改正数

小于限差为止。通常对角元素设置限差，即

。

空间后方交会精度评定

按照上述方法求得的外方位元素，其精度可以通过法方程的系数矩阵的逆阵来求得，即

协因数阵

的对角线上的元素

就是第

个未知数的权倒数。若单位权中误差为

，则第

个未知数的中误差为

当参加空间后方交会的控制点有

个时，单位权中误差可按下式计算：

空间后方交会不定性

空间后方交会使用的控制点应当避免位于一个圆柱面上，否则会出现解不唯一的情况。

空间后方交会扩展

将内方位元素视为参数

如果认为已知的内方位元素的值不够准确时，可以将其视为参数参与平差，并求得其改正数。此时的误差方程为：

将控制点的空间坐标视为观测值

当控制点的空间坐标中的误差不容忽视时，可视为观测值，此时的误差方程为：

要注意的是，当引入控制点空间坐标的改正数后，还要引入相应的权值，以反映控制点的精度特性。