平均曲率半径

平均曲率半径是描述椭球面曲率的几何量。即椭球面上一点所有方向法截线曲率半径的算数平均值。旋转曲面上点的平均曲率半径等于该点两主曲率半径乘积的平方根(即几何中数)，地球椭球面是一个旋转曲面，该曲面上的一点的平均曲率半径R=√MN，其中M和N分别为子午圈和卯酉圈曲率半径。在测量与制图中，常用某点的平均曲率半径R为半径的球面来代替该点附近的地球椭球面。

平均曲率半径定义

平均曲率半径(mean radius of curvature)，是描述椭球面曲率的几何量。即椭球面上一点所有方向法截线曲率半径的算数平均值。旋转曲面上点的平均曲率半径等于该点两主曲率半径乘积的平方根(即几何中数)，地球椭球面是一个旋转曲面，该曲面上的一点的平均曲率半径

其中，M和N分别为子午圈和卯酉圈曲率半径。在测量与制图中，常用某点的平均曲率半径R为半径的球面来代替该点附近的地球椭球面。

平均曲率半径平均曲率半径法求阿基米德螺旋线的代用圆弧

机械工程中，阿基米德螺旋线是一种最常用的曲线。

代用圆弧的求法通常有两种：

①三点共圆法：即在要替代的一段曲线上，取三点(通常是起点、中点、及终点)作一圆；

②最小二乘法图：使整段阿基米德螺旋线与其代用圆弧作比较，取其若干点的误差平方和最小作目标函数，以优化方法求圆弧参数。这两种方法都可获得较高的精度，但前一方法的计算公式较复杂，后一方法要在计算机上运行才能得到结果。用平均曲率半径求阿基米德螺旋线代用圆弧的新方法，其计算公式简单，且可得到与三点共圆法相同的精度。

曲线的曲率表征了平面曲线的弯曲程度。圆的曲率是一常数，阿基米德螺旋线的曲率各点都不相同。用圆弧代替一段曲线，因曲率不同，总是要产生误差。今设有一段阿基米德螺旋线(图1)，其方程为

曲线起点A的坐标为A(ρ₁,0)，终点B的坐标为B(ρ₂,θ₂)，如果我们用A、B两点的平均曲率半径作此段曲线的代用圆弧半径，很有可能使误差达到最小。

阿基米德螺旋线的曲率公式为

代入A、B两点的坐标,即可求出它们的曲率K_a、K_b及曲率半径R_a、R_b，即

R_a=1/K_a；R_b=1/K_b

平均曲率半径即代用圆弧半径为

R_d=(R_a+R_b)/2

求出代用圆弧半径后，圆心很容易求出，因为圆弧要通过A、B两点，圆心必然在BA弦的垂直平分线上。根据几何关系，可得

x_a=ρ1；y_a=0；x_b=ρ2cosθ；y_b=ρ2sinθ；x_c=(x_a+x_b)/2；y_c=(y_a+y_b)/2

tgβ=(x_a-x_b)/(y_b-y_a)

x_d=x_c-CDcosβ；y_d=y_c-CDsinβ

经检验得，其精度与三点共圆法相同。