切向畸变

“切向畸变”就是矢量端点沿切线方向发生的变化，也就是角度的变化dt。

切向畸变概念

切向畸变是由于摄像机制造上的缺陷使得透镜本身与图像平面不平行而产生的，可定量描述为：

x_correct=x+(2p₁xy+p₂(r+2x))

y_correct=y+(p₁(r+2y)+2p₂xy)

式中，（x，y）是畸变点在图像上的原始坐标，（x_correct，y_correct）是校正后的新坐标，p₁、p₂为切向畸变系数。

切向畸变带切向畸变的模型可视化摄像机标定

建立摄像机成像的几何模型，用以描述空间坐标系中物体点同它在图像平面上像点之间的对应关系。其几何模型的参数就是摄像机的参数，计算、求解这些参数的过程称为摄像机标定。传统的摄像机定标方法可以分成四类，即利用摄像机变换矩阵的标定方法，利用最优化算法的标定方法，进一步考虑畸变补偿的两步法和采用更为合理的摄像机成像模型的双平面标定方法。

直接线性变换方法或者透视变换矩阵方法可以利用线性方法求解摄像机参数，其缺点是没有考虑镜头的非线性畸变，精度不高；使用最优化算法求解未知参数，求解的结果常常取决于给定的初始值。如果初始值给定不合适，就很难得到正确的结果。如果先利用直接线性变换方法或者透视变换矩阵方法求解摄像机参数，再以求得的参数为初始值，考虑畸变因素，并利用最优化算法进一步提高标定精度，这就形成了所谓的两步法。

Tsai在他的论文中所使用的是典型的两步法，但是在论文中仅考虑了摄像机的径向畸变，而没有考虑其切向畸变，在一些精确的测量系统中往往必须考虑切向畸变。根椐，Tsai的两步标定法的摄像机模型，并结合摄像机的切向畸变，对摄像机的畸变模型进行了进一步的分析，并且在Matlab，中用两步标定法得到精确标定的摄像机内外参数，并且通过可视化摄像机畸变模型，可以直观了解畸变对图像变形的影响。

切向畸变摄像机模型

切向畸变摄像机标定

传统的标定方法起源于摄影测量学领域求解一个非线性的误差函数的最小值问题。由于这种方法效率低并且运算量大，有人提出了增加限制条件的解决方法。直接线性变换法(DLT)通过直接求解线性方程来确定变换参数，这种算法简捷，但未考虑透镜的畸变，精度不高，结果的准确性对噪声比较敏感，因此当要求高精度时它不是一种有效的方法，必须采用一种更加合适的摄像机模型。

非线性标定方法考虑了镜头畸变所引入的非线性方程，为求解数目众多的未知数而采用了非线性优化方法。非线性优化求解未知参数，求解的结果常常取决于给定的初始值，如果初始值给定不合适，非线性搜索优化计算容易陷入局部最小，很难得到正确的结果。综合考虑上述两种方法的优劣,如果先利用直接线性变换方法或者透视变换矩阵方法求解摄像机参数，再以求得的参数为初始值，考虑畸变因素，并利用最优化算法进一步提高定标精度的分步标定方法。

切向畸变标定过程

Tsai在他的论文中首先提出了两步法：

①线性参数估计；

②用非线性参数优化。研究根据两步标定的方法，首先用DLT法直接线性估计摄像机的参数，再以得到的参数为初始值，进行非线性优化，得到参数的最优解。在Matlab中的运行结果显示这种标定具有较高的精度，可以满足大多数应用的需求。最后在Matlab中将摄像机畸变模型可视化，可以直观的表示各畸变分量，其中畸变主要为径向分量的影响，在大多数情况下其切向分量影响较小。

切向畸变切向畸变的显-隐式校正方法

切向畸变矫正背景

图像的畸变校正是计算机视觉领域中的关键技术之一。受镜头制造精度的影响，计算机视觉系统拍摄的图像会出现不同程度的畸变，这种畸变可以分为径向畸变和切向畸变两种。对一般低精度要求的场合，只考虑径向畸变就可以，因为切向畸变的影响远小于径向畸变。切向畸变的影响通常被忽略还有另一个原因，那就是含有切向畸变的校正模型是一个五次多项式，对这个多项式进行迭代求解是比较困难的。为此，提出了一种图像畸变的显-隐式校正方法，用显-隐式校正模型代替传统的五次多项式校正模型。此模型由径向畸变系数(k1，k2)、切向畸变系数(p1，p2)和不含任何物理意义的隐式校正因子λn(1≤n≤4)共同构建，模型中隐式校正因子的求取用最小二乘法即可，之后用此模型进行图像畸变的校正。

切向畸变图像畸变的形成

径向误差是由镜头表面部分在径向曲率的变化存在缺陷造成的。它会直接导致图像的径向畸变。镜头部分的光学中心并不能严格的保持共线，相应地会产生偏心误差。此外，由于镜头设计和生产以及摄像机组装过程中的缺陷，还会引起薄棱镜误差。偏心误差和薄棱镜误差在导致图像的径向畸变的同时，还会导致图像的切向畸变。图像的径向畸变是指图像点从它的理想位置向内或向外移动，即在径向上出现误差。而图像的切向畸变是指图像点在切向上出现偏移，如图2所示。下面按照此三阶段详细介绍组合三角剖分法。

对图像畸变的精确校正应该既对径向畸变进行校正，又对切向畸变进行校正。最直接的思路就是通过摄像机标定求得径向畸变系数(k1，k2)和切向畸变系数(p1，p2)，进而利用富含(k1，k2)、(p1，p2)的校正模型来校正图像的畸变。由于这种校正模型中的(k1，k2)、(p1，p2)都是有真实物理意义的参数，故此这种校正方法称为显式校正。

切向畸变研究结论

分析了图像畸变的形成，为了同时校正图像的径向和切向畸变，提出了一种新的显-隐式校正方法。此方法将显式校正和隐式校正结合起来，弥补了二者的不足。实验结果证明，显-隐式校正方法可以有效地消除图像的径向和切向畸变，不但校正精度高，而且用最小二乘法即可求解。