斯托克斯公式

斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。

斯托克斯公式内容

设

是具有边界曲线

的有向曲面，

的边界曲线

的正向这样规定：使这个正向与有向曲面

的法向量符合右手法则．即当右手除大拇指外的四指依曲线

的绕行方向时，竖起的大拇指的指向与曲面

的法向量的指向一致．如此定向的边界曲线

称为有向曲面

的正向边界曲线．

设

为空间的一条分段光滑的有向曲线，

是以

为边界的分片光滑的有向曲面，

的正向与

的侧符合右手法则．函数

在曲面

(连同边界

)上具有连续的一阶偏导数，则

称为斯托克斯公式。

斯托克斯公式证明

首先证明

（1）

先假定用平行于z轴的直线穿过曲面

时只有一个交点。

的方向不妨取上侧，它在xOy面上的投影区域为

，而

的边界曲线

在xOy面上的投影即为

的边界曲线L，且L的方向与

方向一致，如图1所示．此时

的方程可写为

.

设L的参数方程为

从而

的参数方程为

t的增大方向对应于

的正向，则由曲线积分计算法易于验证

由格林公式得

另一方面，

的法向量

，设其单位法向量

，于是

从而

，因此

比较得到

若

的方向取下侧，

也相应地改取相反的方向，那么上式两端同时改变符号，因此上式仍成立。

当曲面

与平行于z轴的直线的交点多于一个时，可通过分割的方法，把

分成几部分，使每一部分均与平行于z轴的直线至多交于一点，然后分片讨论，再利用第二型曲线积分的性质，同样可证式(1)成立 。

同理可证：

(2)

(3)

将式

（1），

（2），

（3）两端分别相加即得斯托克斯公式。

为了便于记忆，斯托克斯公式也常用如下的行列式来表示：

式左端的行列式按第一行展开，并把

与

的乘积理解为

，

与

的乘积理解为

，其他类似，展开后的表达式就是斯托克斯公式的左端。

利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一种形式如下：

其中

为有向曲面

的单位法向量。

当曲面

是面xOy上的一块平面闭区域时，斯托克斯公式就变成格林公式．因此斯托克斯公式是格林公式从平面形式到空间形式的一个推广。