行列式

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

行列式数学定义

设

是由排成n阶方阵形式的n²个数a_ij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数，其值为n!项之和

式中k₁,k₂,...,k_n是将序列1,2,...,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k₁,k₂,...,k_n取遍1,2,...,n的一切排列求和，那么数D称为n阶方阵相应的行列式.例如，四阶行列式是4!个形为

的项的和，而其中a₁₃a₂₁a₃₄a₄₂相应于k=3,即该项前端的符号应为(-1）.

若n阶方阵A=(a_ij),则A相应的行列式D记作D=|A|=detA=det(a_ij)

若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.

标号集：序列1,2,...,n中任取k个元素i₁,i₂,...,i_k满足1≤i₁2<...k≤n(1)

i₁,i₂,...,i_k构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有

σ={i₁,i₂,...,i_k}

是{1,2,...,n}的满足(1)的一个子列.若令τ={j₁,j₂,...,j_k}∈C(n,k),则σ=τ表示i₁=j₁,i₂=j₂,...,i_k=j_k。

行列式性质

①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式A(A的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|α_ij|中某行(或列);行列式则|α_ij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b₁,b₂,…,b_n；另一个是с₁，с₂,…,с_n；其余各行（或列）上的元与|α_ij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。

⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。