正交变换

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种，它从实内积空间V映射到V自身，且保证变换前后内积不变。

因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。

正交变换的逆变换也是正交变换，后者的矩阵表示是前者矩阵表示的逆。

正交变换定义

正交变换几何定义

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种。对一个由空间

对于正交变换T以及两个向量

正交变换代数定义

在矩阵表示形式上，如果

正交变换等价刻画

设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价

1.σ是正交变换；

2.σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；

3.如果ε₁,ε₂,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε₁),σ(ε₂),...,σ(ε_n)也是标准正交基；

4.σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

正交变换正交矩阵

定义：n级实矩阵A称为正交矩阵，如果AA=AA=E。(A表示A的转置矩阵，E是单位矩阵)

性质：正交矩阵的行（列）均为单位向量，且任意不同的两行（列）均正交（内积为0）；矩阵行列式丨A丨=±1。

正交变换分类

设A是n维欧氏空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵

若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，包括空间内的平移、旋转以及二者的复合。

若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换，包括空间内的反射以及反射变换与第一类正交变换的复合。

第一类正交变换不改变直角坐标系的定向，即左（右）手系变换后仍是左（右）手系。

注意：丨A丨=±1是变换σ成为正交变换的必要不充分条件。

正交变换性质

（1）正交变换

（2）如果

（3）正交变换容易做反运算，即正交变换可逆。

（4）如果

（5）对于正交变换

（6）正交变换把共线的点变成共线的点，不共线的点变成不共线的点，且保持直线间的夹角不变。

正交变换举例

以二维空间为例，一个线性变换可写作

即

当系数矩阵

正交变换应用

正交变换的种类非常的广，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都属于正交变换。对矩阵做旋转或是镜射也属于正交变换。