旋转变换

旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点换同一方向，转动同一个角度。

旋转变换简介

简称旋转。欧氏几何中的一种重要变换.即在欧氏平面上(欧氏空间中)，让每一点P绕一固定点(固定轴线)旋转一个定角，变成另一点P′，如此产生的变换称为平面上(空间中)的旋转变换。此固定点(固定直线)称为旋转中心(旋转轴)，该定角称为旋转角。旋转是第一种正交变换。

发音:旋(xuán)转(zhuàn)。英文：rotation

在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点Pˊ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

旋转变换性质

: 　

①对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上）。

②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 　

③旋转前、后的图形全等。

①旋转中心；

②旋转方向；

③旋转角度。

注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样。

旋转变换的作图：

①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；

②找出能确定图形的关键点；

③连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个角，得到此关键点的对应点；

④按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形。

旋转对称性：如果某图形绕着某个定点转动一定角度（小于360°）后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形。（结合网络及教辅书籍）

假设初始点P=(Xo,Yo)T 中心点O(Cx,Cy)T 矩阵A=

(T表示转置,θ为从P到P'的旋转角差值)

那么P'=A×(P-O)+O

即P'=((Xo-Cx)×cosθ-(Yo-Cy)×sinθ+Cx,(Xo-Cx)×sinθ+(Yo-Cy)×cosθ+Cy)

证明：

设圆心为O(Cx,Cy)T ,半径为r=|P-O|的圆C为:

x=Cx+r×cosα

y=Cy+r×sinα

则P点位于圆上,设向量(OP)与x轴夹角是β;

另设一点P'在圆上，且向量(OP)与向量(OP')的夹角是θ,可得:

P'x=Cx+r×cos(β+θ)=Cx+(r×cosβ)×cosθ-(r×sinβ)×sinθ -----------

①

P'y=Cy+r×sin(β+θ)=Cx+(r×sinβ)×cosθ+(r×cosβ)×sinθ -----------

②

由于:

Xo=Cx+r×cosβ

Yo=Cy+r×sinβ

得到:

r×cosβ=Xo-Cx

r×sinβ=Yo-Cy

代入

①

②得:

P'x=Cx+(Xo-Cx)×cosθ-(Yo-Cy)×sinθ

P'y=Cy+(Yo-Cy)×cosθ+(Xo-Cx)×sinθ

即：

P'=((Xo-Cx)×cosθ-(Yo-Cy)×sinθ+Cx,(Xo-Cx)×sinθ+(Yo-Cy)×cosθ+Cy)

写作矩阵形式：

P'=A×(P-O)+O

其中：

P=(Xo,Yo)T O(Cx,Cy)T 矩阵A=