凹函数

数学模型中的一种，在数学当中，凹函数是凸函数的相反。

凹函数详细介绍

数学模型中的一种，在数学当中，凹函数是凸函数的相反。

凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X₁<X₂和任意的实数λ∈（0，1），总有f(λx₁+(1-λ)x_2≥λf(x₁)+(1-λ)f(x₂), 则f称为I上的凹函数。

凹函数定义

如果定义在某一区间上的一元实函数是连续函数，且对这一区间中的任何两点X₁、X₂，当X₁<X₂时，有不等式

如果y=f(x)是(严格)凹函数，那么它的图象是(严格)凹曲线，或叫做(严格)下凸曲线。

凹函数的概念是詹森(J.L.w.v.Jermen，1859～1925)引入的，他所采取的定义条件是

相当于上述定义中

如果f(x)是凹函数，那么-f(x)即是凸函数，通常都是把凹函数转化为凸函数来研究。

如果一元实函数f(x)在某区间二阶可导，那么这一函数为凹函数的充要条件是在这一区间上恒有f''(x)小于等于0(对于严格凹函数，只要改成f''(x)<0就可以了)。

在数学当中，凹函数是凸函数的相反。与凸函数（上凸）对比，这里的凹函数（上凸）应有：如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为凹函数。

凹函数性质

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）

如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是正值。

凹函数函数凹凸性证明

凸函数

设函数f(x)在定义域内连续可导且满足f''(x)>0；设x₁<x₂,0<a<1、证明：f<af(x₁)+(1-a)f(x₂)；（即利用凸函数的充要条件来证明其定义。）

因ax₁+(1-a)x₂-x₁=(1-a)(x₂-x₁)>0；

则x₁<ax₁+(1-a)x_2；

根据拉格朗日中值定理。

必存在x₁<μ< ax₁+(1-a)x_2；

使f-f(x₁)= (1-a)(x₂-x₁)f'(μ)；

同理。

存在ax₁+(1-a)x₂<ξ<x_2；

使f(x₂)- f= a(x₂-x₁)f'(ξ)；

故a{f-f(x₁)}- (1-a){f(x₂)- f}=a (1-a)(x₂-x₁)；

根据拉格朗日中值定理。

有μ<δ<ξ；

f'(μ)- f'(ξ)=(μ-ξ)f''(δ)；

因f''(x)>0；

则f'(μ)- f'(ξ)<0；

则a{f-f(x₁)}- (1-a){f(x₂)- f}<0；

整理后得f<af(x₁)+(1-a)f(x₂)；

凹函数

同理，若f''(x)≤0，则结果相反 。

即若f''(x)≤0，则f≥af(x₁)+(1-a)f(x₂)；满足凸函数的定义。

证明完毕。