数列公式

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，且每一项都不为0(常数)，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

数列公式详细介绍

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，且每一项都不为0(常数)，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

如果{cn}，cn=an·bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列,那么这个数列就叫做差比数列.

数列公式等差数列

数列公式一般等差数列

（1）通项公式：a_n=a₁+(n-1)d

（2）通项公式的推广：任意两项

（3）从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:

（4）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a_m+a_n=a_p+a_q

（5）若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a_m+a_n=2a_p

（6）等差中项公式：若

（7）前n项和公式为：S_n=na₁+ d或S_n=(a₁+a_n)n/2

数列公式高阶等差数列

r阶差等比数列的定义

通过对某一数列应用逐差法，使得若干阶差后得到一等比数列。该数列又称为高阶差等比数列。定义 若一数列应用逐差法运算时，其前r阶差不是等比数列，而r+1阶差时是等比数列，则称该数列为r阶差等比数列 。

通项公式：设数列(1)为r阶差等比数列，其各阶差首项分别为d1，…，dr ；且r+1阶差为等比数列，其首项为b，公比为q．则数列(1)的通项公式为

数列公式等比数列

（1）等比数列的通项公式是：

若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

（2) 任意两项am，an的关系为

（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质：

①若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an*q)/(1-q)（q≠1） Sn=n*a1 （q=1）

在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.

注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

等比数列在生活中也是常常运用的。

如：银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，

再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期

数列公式差比数列

定义{c_n}，c_n=a_n·b_n，其中{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列,那么这个数列就叫做差比数列.由差比数列的定义可知，等差数列即当bn公比为1时差比数列的特殊形式，等比数列即当an公差为0时差比数列的特殊形式.差比数列的性质，就是由成倍递增的一组数所组成的数列.求和公式，可用错位相减法推出。

数列公式对称公式

对称数列的通项公式：

对称数列总的项数个数：用字母s表示

对称数列中项：用字母C表示

等差对称数列公差：用字母d表示

等比对称数列公比：用字母q表示

设，k=(s+1)/2

数列公式相关信息

数列公式一般通项

一般有：

a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）

累和法（a_n-a_n-1=... a_n-1 - a_n-2=... a₂-a₁=...将以上各项相加可得a_n）。

逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。

化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。

特别的：

在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n

2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn

即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列

不动点法（常用于分式的通项递推关系）

数列公式特殊常见的

①数列1,2,3,4,5,6,7,8……通项为

②数列1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......通项为an=1/n

③2，4，6，8，10，12，14.......通项为an=2n

④1,3,5,7,9,11,13,15.....通项为an=2n-1

⑤-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......通项为an=(-1)^n

⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......通项为an=(-1)^(n+1)

⑦1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....通项为an=/2

⑧1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......通项为an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2

⑨9,99,999,9999,99999,.........通项为an=（10^n)-1

⑩1,11,111,1111,11111.......通项为an=/9

⑾1，4，9，16，25，36，49，.......通项为an=n^2

⑿1,2,4,8,16,32......通项为an=2^(n-1)

数列公式前N项和

(一)1.等差数列:

通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数

an=ak+(n-k)d ak为第k项数

若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2

2.等差数列前n项和:

设等差数列的前n项和为Sn

即 Sn=a1+a2+...+an;

那么 Sn=na1+n(n-1)d/2

=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n

还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法2 累加法 3倒序相加法

(二)1.等比数列:

通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项

an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)

则an/am=q^(n-m)

(1)an=am*q^(n-m)

(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)

(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq

2.等比数列前n项和

设 a1,a2,a3...an构成等比数列

前n项和Sn=a1+a2+a3...an

Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);

注: q不等于1;

Sn=na1 注:q=1

求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2累乘法3错位相减法4倒序求和法5裂项相消法