Borel域

Borel域，Borel 域是满足外测度在其上符合测度性质的，包含R₀的最小σ-代数。

Borel域详细介绍

Borel域，Borel 域是满足外测度在其上符合测度性质的，包含R₀的最小σ-代数。

由直线上所有左开右闭的有限区间(a,b] (a≤b)全体构成的的集类记为P，定义P上的集函数m：

对任意E=(a，b]∈P，令m（E）=b－a，m就表示区间的长度，由P中任意有限个元素作合集，这样的合集全体记为R₀,R₀是一个环，m是R₀上的Lebsgue测度。接下来引进一个包含R₀的σ-环：H(R₀)表示实数集中能用R₀中一列元素加以覆盖的子集全体所成的类，即

H(R₀)={E|E⊂R，存在Ei∈R₀(i=1,2,3...)使E⊂所有E_i的并}

H(R₀)是直线上一切子集全体所成的集类，是R₀的延拓，由于测度m的外测度m在H(R₀)上不满足可列可加性，故为了利用H(R₀)找到一个能使m在其上满足测度性质的σ-代数，我们用Caratheodory(卡拉泰乌杜力)条件从H(R₀)中挑选出Lebsgue可测集L，集函数m作用于其上满足测度的性质，且L为σ-代数。设包含R₀的最小σ-代数为S(R₀)，S(R₀)⊂L，从L中得到的S(R₀)即为Borel域（Borel集），Borel域保留了L上的运算性质，故此时其上的m自然也就可以用m来表示了。