最大元（greatest element）是偏序集中的一种特殊元素，指偏序集的子集中不小于一切的元素。与此相关的概念还有，极大元：指偏序集中没有比它更大的可比较的元素；最小元：指偏序集的子集中小于或等于一切元素的元素；极小元：指偏序集中没有与它可比较的更小的元素。
最大元（greatest element）是偏序集中的一种特殊元素，指偏序集的子集中不小于一切的元素。与此相关的概念还有，极大元：指偏序集中没有比它更大的可比较的元素；最小元：指偏序集的子集中小于或等于一切元素的元素；极小元：指偏序集中没有与它可比较的更小的元素。
一种特殊元素，指偏序集的子集中不小于一切元素的元素。令<A，R>是偏序集，
，如果对每一个都有xRb，则称b是<B，R>的最大元。对给定的<B，R>不一定有最大元，若有最大元，则是惟一的。<A，R>的最大元称为单位元，记为1。<B，R>的最大元是<B，R>的最小元；反之亦真。最大元是惟一的极大元。定义1，设P是集合，P上的二元关系“≤”满足以下三个条件，则称“≤”是P上的偏序关系（或部分序关系）：
（1）自反性：a≤a，∀a∈P；
（2）反对称性：∀a，b∈P，若a≤b且b≤a，则a=b；
（3）传递性：∀a，b，c∈P，若a≤b且b≤c，则a≤c；
具有偏序关系的集合P为偏序集（或称半序集），记为（P，≤）。a≤b读作“a小于或等于b”或“a含于b”，a<b读作“a小于b”或“a真含于b”。这里a<b等价于a≤b且a≠b，∀a，b∈P。若a≤b或b≤a，则称a与b是可比的，否则就说a与b是不可比。a与b不可比记作a||b。
定义2，设（P，≤）是偏序集，对于P中任意二元x，y有x≤y
yRx，则称R是≤的逆关系，记作≤。≤称为≤的逆。定理1，设（P，≤）是偏序集，则（P，≤）也是偏序集，偏序集（P，≤）称为偏序集（P，≤）的对偶，简记作P。
定义3，设（P，≤）是偏序集，N
P，由于关系≤是P×P的子集，令≤N=≤∩(N×N)是≤与N×N的交集，则称≤N是关系≤在N上的限制。
定理2，设（P，≤）是偏序集，关系≤N是≤在N上的限制，则（N，≤N）是偏序集，称为（P，≤）的子偏序集。
偏序集中的一种特殊元素，指偏序集中没有与它可比较的更小的元素。设<A，R>是偏序集，
，若不存在，使得 xRb 且 x≠b，则b称为<B，R>的极小元。对给定的<B，R>可以有一个或多个极小元，也可以没有极小元。若a与b是<B，R>的两个不同的极小元，则且。当B为有限集时，<B，R>一定有极小元。偏序集中的一种特殊元素，指偏序集中没有比它更大的可比较的元素。设<A，R>是偏序集，
，若不存在，使得 bRx 且x≠b，则b称为<B，R>的极大元。对给定的<B，R>可以有一个或多个极大元，也可以没有极大元。若a与b是<B，R>的两个不同的极大元，则且。当B为有限集时，<B，R>一定有极大元。一种特殊元素，指偏序集的子集中小于或等于一切元素的元素。令<A，R>是偏序集，
，如果对每一个都有bRx，则称b是<B，R>的最小元。对给定的<B，R>不一定有最小元，若有最小元，则是惟一的。<A，R>的最小元称为零元素，记为0。<B，R>的最小元是<B，R>的最大元；反之亦真。最小元是惟一的极小元。设<A，R>偏序集，B含于A；
①若y∈B满足任取x∈B，y≤x→x=y，则称y为B的极大元；(箭头表示“蕴含”)
②若y∈B满足任取x∈B，x≤y，则称y为B的最大元；
易得最大元必是极大元，但极大元不一定是最大元，应注意极大元和最大元的区别。 最大元是B中最大的元素，它与B中其它元素都可比；而极大元不一定与B中其它元素都可比，只要没有比它大的元素，它就是极大元。对于有穷集合B，极大元一定存在，但最大元不一定存在。最大元如果存在一定是唯一的，但极大元可能有多个。
请注意极小元和最小元的区别。最小元是B中最小的元素，它与B中其它元素都可比；而极小元不一定与B中其它元素都可比，只要没有比它小的元素，它就是极小元。对于有穷集合B极小元一定存在，但最小元不一定存在。最小元如果存在一定是唯一的，但极小元可能有多个。
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