全序关系

在数学中，集合 X 上的全序关系（Total order），简称全序、又名线性序（linear order）、简单序（simple order），或（非严格）排序（(non-strict) ordering），是在 X 上的反对称的、传递的和完全的任何二元关系。

全序关系详细介绍

在数学中，集合 X 上的全序关系（Total order），简称全序、又名线性序（linear order）、简单序（simple order），或（非严格）排序（(non-strict) ordering），是在 X 上的反对称的、传递的和完全的任何二元关系。

全序关系定义

设集合X上有一全序关系，如果我们把这种关系用 ≤ 表述，则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立：

如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)

如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性)

a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)

配对了在其上相关的全序的集合叫做全序集合（totally ordered set）、线序集合（linearly ordered set）、简单序集合（simply ordered set）或链（chain）。链还常用来描述某个偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。

关系的完全性可以如下这样描述：对于集合中的任何一对元素，在这个关系下都是相互可比较的。

注意完全性条件蕴涵了自反性，也就是说，a ≤ a。因此全序也是偏序（自反的、反对称的和传递的二元关系）。全序也可以定义为“全部”的偏序，就是满足“完全性”条件的偏序。

可作为选择的，可以定义全序集合为特殊种类的格，它对于集合中的所有 a, b 有如下性质：

我们规定 a ≤ b 当且仅当

。可以证明全序集合是分配格。

全序集合形成了偏序集合的范畴的全子范畴，通过是关于这些次序的映射的态射，比如，映射 f 使得"如果 a ≤ b 则 f(a) ≤ f(b)"。

在两个全序集合间的关于两个次序的双射是在这个范畴内的同构。

全序关系严格全序

对于每个(非严格)全序 ≤ 都有一个相关联的非对称(因此反自反)的叫做严格全序的关系 <，它可以等价地以两种方式定义：

a < b 当且仅当 a ≤ b 且 a ≠ b

a < b 当且仅当 ¬(b ≤ a) (就是说 > 是 ≤ 的补关系的逆关系)

性质：

关系是传递的： a < b 且 b < c 蕴涵 a < c。

关系是三分的： a < b, b < a 和 a = b 中有且只有一个是真的。

关系是严格弱序，这里关联的等价是等同性。

我们可以其他方式工作，选择 < 为三分的二元关系；则全序 ≤ 可等价地以两种方式来定义:

a ≤ b 当且仅当 a < b 或 a = b

a ≤ b 当且仅当 ¬(b < a)

还有两个关联的次序是补关系 ≥ 和 >，它们构成了四元组 {<, >, ≤, ≥}。

我们可以通过这四个关系中的任何一个，定义或解释集合全序的方式；由符号易知所谈论的是非严格的，抑或是严格全序。

全序关系全序关系与偏序关系

偏序和全序是公里集合论中的概念。首先需要知道什么是二元关系。比如实数中的“大小”关系，集合的集合中的“包含”关系就是两种二元关系。所谓偏序，即偏序关系，是一种二元关系。所谓全序，即全序关系，自然也是一种二元关系。全序是指，集合中的任两个元素之间都可以比较的关系。比如实数中的任两个数都可以比较大小，那么“大小”就是实数集的一个全序关系。偏序是指，集合中只有部分元素之间可以比较的关系。比如复数集中并不是所有的数都可以比较大小，那么“大小”就是复数集的一个偏序关系。显然，全序关系必是偏序关系。反之不成立。

全序关系例子

字母表的字母按标准字典次序排序，比如 A < B < C 等等。

把一个全序限制到其全序集合的一个子集上。

所有的两个元素都是可比较的任何偏序集合 X (就是说，如果 a,b 是 X 的成员，则 a≤b 或 b≤a 中的一个为真或二者都为真)。

由基数或序数(实际上是良序)组成的任何集合。

如果 X 是任何集合，而 f 是从 X 到一个全序集合的单射函数，则 f 诱导出 X 上的一个全序：规定 x₁ < x₂ 当且仅当 f(x₁) < f(x₂)。

设有某个集族，其成员都是用序数为索引的全序集合，然後把这集族上取的笛卡尔积中的有序对按字典序排序，那麽，这字典序是一全序。例如，若有一个集合由一些词语组成，按字母表把词语排序的话会是一全序。举个实例，我们规定"bird"先於"cat"。这可视为是向字母表加入空格符号""（定义""先于所有字母），得到集合A，然後对其自身取可数次笛卡尔积，得到A。"bird"可理解为A里的序对("b","i","r","d","","",...)，"cat"则是("c","a","t","","","",...)。从而{"bird","cat"}成为A的一个子集，把A上的字典序限制到这字集，便得出"bird"<"cat"。

实数集和自然数集、整数集、有理数集（作为实数集的子集），用平常的小于(<)或大于(>)关系排序都是（严格）全序的。它们都可以被证明是带有特定性质的全序集合的唯一的（在同构意义下的）最小实例（一个全序 A 被称为是带有特定性质的最小全序，即意味着只要别的全序 B 有这个性质，就有从 A 到 B 的子集的一个序同构)：

自然数集是最小的没有上界的全序集合。

整数集是最小的没有上界也没有下界的全序集合。

有理数集是最小的在实数集内稠密的全序集合，这里的稠密性是指对于任意实数a, b，都存在有理数q使得a<q<b。

实数集是最小的无界连通（序拓扑的意义下）的全序集合。