割线定理

割线定理（Secant Theorem），圆幂定理之一，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

割线定理详细介绍

割线定理（Secant Theorem），圆幂定理之一，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

割线定理定理定义

文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD=LT²。

几何语言：∵割线LDC和LBA交于圆O于ABCD点

∴LA·LB=LC·LD=LT²

如图1所示。(LT为切线）

割线定理验证推导

割线定理证明一

求证：PA·PB=PC·PD

证明：连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得 ∠DAP=∠BCP

又∵∠P=∠P

∴△ADP∽△CBP （如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。）

∴AP:CP=DP:BP

即AP·BP=CP·DP

割线定理证明二

既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。

如图3所示。

已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证：AP·BP=CP·DP

证明：连接AC、BD

由圆内接四边形定理得

∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°

又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°（平角的定义）

∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP（同角的补角相等）

∴△ACP∽△DBP（两角对应相等的三角形相似）

∴AP/DP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）

∴AP·BP=CP·DP（比例基本性质）

割线定理证明三

根据切割线定理求证。

已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

过点P作圆O的切线，记切点为T

由切割线定理可知：AP·BP=PT²，CP·DP=PT²

∴AP·BP=CP·DP

割线定理比较

相交弦定理、切割线定理以及它们的推论统称为圆幂定理，一般用于求线段长度。