幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
设
是定义在某区间I上的函数列，则表达式(1)
称为定义在区间I上函数项级数。
如果式
（1）上的各项
都是定义在区间 上的幂函数，函数项级数 (2)称作幂级数，其中
为常数， 称为幂级数的系数。特别的，当
=0时，幂级数式（2）变为
(3)
对于定义在区间I上的函数项级数
,取定 ,就变成数项级数(4)
数项级数式
（4）可能收敛，也可能发散。如果数项级数式
（4）是收敛的，称
为函数项级数（1）的收敛点；如果数项级数式
（4）是发散的，称
为函数项级数（1）的发散点。函数项级数式
（1）的所有收敛点的集合称为其收敛域，所有发散点的集合称为其发散域。
对于收敛域上的每一个数x，函数项级数
（1）都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。因此，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数，记作s（x），通常写成
或 。
如果
,则幂级数 的收敛半径R：四则运算
（1）幂级数的加法
在和中的较小区间内上式成立，收敛半径
（2）幂级数的减法
在
和中的较小区间内上式成立，收敛半径。（3）幂级数的乘法
在
和中的较小区间内上式成立，收敛半径。(4)幂级数的除法
两个幂级数相除的结果仍是幂级数。假设
时，系数
由下列等式逐一确立：相除所得的幂级数
的收敛域可能比和小得多。幂级数的和函数的性质
性质一：幂级数
的和函数s（x）在其收敛域I上连续。性质二：幂级数
的和函数s（x）在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
推论：幂级数
的和函数s（x）在其收敛域内可逐项积分任意次。性质三：幂级数
的和函数s（x）在其收敛区间内可导，并有逐项求导公式
逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
推论：幂级数
的和函数s（x）在其收敛区间内有任意阶导数。
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