赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。
赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德(Otto Hölder）。这是一条揭示Lp空间相互关系的基本不等式。赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。
设p,q,r∈，
。对任意S∈与T∈，有ST∈，与设
， 。令 和 是非负实数。那么仅当
中至少有一个为零数列或者 ，且 ,使得 ,证明：记
,则式子即
因为f(x)=lnx(x>0)是向上凸函数（因为
),由加权Jensen不等式，可得所以
把上式对i到m求和 得：
从而命题得证。
假设
， 。如果 ， ，那么(有限和和无穷和)
设
或 为实数或复数列，a叫做多重指标，令
满足条件的p,q称为共轭指数，q=1是规定p=∞,
若1≤p≤∞，则
若0<p<1,则不等号反向。
1<p<∞时，
,且 成立设p、q为共轭指数，令
若
当
时， ,且即
, ……………………①
………… …………
②
若0<p<1,则不等号方向改变
时，仅当 ,使得 和 在E上几乎处处成立时
①式成立
p=1时，仅当
，使得 a.e.(almost everywhere)于E，且 时，②式成立
如果||f||p= 0，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q=0也是这样。因此，我们可以假设||f||p>0且||g||q>0。
如果||f||p= ∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f||p和||g||q位于(0,∞)内。
如果p= ∞且q= 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p=1和q=∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p,q∈ (1,∞)。
分别用f和g除||f||p||g||q，我们可以假设：
我们现在使用杨氏不等式：
对于所有非负的a和b，当且仅当时
等式成立。因此：
两边积分，得：.
这便证明了赫尔德不等式。
在p∈ (1,∞)和||f||p= ||g||q= 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有
。更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α,β>0（即α= ||g||q且β= ||f||p），使得： μ-几乎处处(*)||f||p= 0的情况对应于(*)中的β=0。||g||q=的情况对应于(*)中的α=0。
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