1、整除法应用环境：方程后边的常数项与前边某一未知数系数具有相同整除特性。
例题：3x+7y=33，已知x，y为正整数，则x+y=( )A.11 B. 10 C.8 D.7D。解析：题目方程有两个未知数一个独立方程，因此为不定方程。不定方程等式后边常数项33与前边某一未知数x的系数3有公共的约数3，即同时能被3整除，因此7y一定能被3整除，y一定能被3整除。因为x，y为正整数，当y=3，x=4，x+y=7符合题意;当y=6，x非正整数，不符合题意。因此本题正确选项为D。
2、奇偶法应用环境：方程中未知数系数以一奇一偶形式存。注：奇数±奇数=偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数*偶数=偶数*奇数=偶数例题：3x+2y=34，若x为质数，则x=( )A.2 B. 3 C.5 D.7A。解析：题目中方程有两个未知数一个独立方程，因此为不定方程。不定方程某一未知数y的系数2为偶数，则2y一定是偶数，常数项34是偶数，则3x一定是偶数；3非偶数则x一定为偶数。又因为x是质数，则为唯一的偶质数2。正确选项为A。
3、尾数法应用环境：方程中未知数系数出现以0或5结尾的数字考虑用尾数法。例题：3x+10y=41，x、y均为正整数，则x=( )A.1 B.3 C.5 D.7D。解析：题目中方程有两个未知数一个独立方程，因此为不定方程。不定方程未知数y出现以0结尾的系数，10y的尾数为0；41尾数为1，则3x尾数为1，因此x尾数为7。结合选项选择D项。
4、结合选项代入法应用环境：通过整除、奇偶或尾数法排除部分选项后还不能确定正确选项，余下选项通过代入排除确定最终选项。例题：22x+35y=1281，且x、y均为正整数，则x=( )A.21 B.28 C.30 D.38B。解析：35y尾数为0或者5，因为22x为偶数，常数项1281为奇数，所以35y一定为奇数，即35y尾数一定为5，所以22x尾数一定为6，得x尾数为3或者8，结合选项排除AC。把B项带入方程得y=19符合题意。验证D项，把x=38带入方程，y为非整数，不符合题意。正确选项为B项。
5、同余特性注：余数的和决定和的余数，余数的积决定积的余数例题：7a+8b=111，已知a，b为正整数，且a>b，则a-b=( )A.2 B.3 C.4 D.5B。解析：因为7a能被7整除，111除以7的余数为6，所以8b除以7的余数为6，即b除以7的余数为6，则b可以为6、13等等，因为a、b皆为正整数且a>b，则b只能等于6，得出a等于9，a-b=3。正确选项为B项。
6、特值法应用环境：能够列出不定方程组，求n(x+y+z)=?时考虑有特值法解题。希望各位考生在做题过程中并非只能使用一种方法，如果符合使用条件，可多方法结合解题。通过上面的讲解相信大家对方程思想尤其是不定方程有了更深的认识，希望同学们后续多加练习快速掌握，为后期解决类似题目奠定基础。
