cos⁴x 的积分可以通过换元法和角度和差公式来求解。
具体步骤如下：
1. 令u = sin x，那么du/dx = cos x，dx = du/cos x。
2. 将cos⁴x用sin x表示，即cos²x = 1 - sin²x，两边取平方可得cos⁴x = (1 - sin²x)²。
3. 将cos⁴x 中的 cos x 用 u 和 x 的关系表示，可得 cos x = √(1 - u²)。
4. 将cos⁴x 中的cos x用上式表示，将dx用du代替，得到：∫cos⁴xdx = ∫(1 - u²)² / cos x dx = ∫(1 - u²)² / √(1 - u²) du
5. 将(1 - u²)²拆开，化简得： ∫(1 - u²)² / √(1 - u²) du = ∫(1 - 2u² +u^4) / √(1 - u²) du = ∫1 / √(1 - u²) du - 2 ∫(u²/ √(1 - u²)) du + ∫(u^4 / √(1 - u²)) du
6. 对于第一项的积分，进行反三角函数的换元：u = sin t： ∫1 / √(1 - u²) du = ∫1 / √(1 - sin²t) cos t dt= ∫1 / cos t dt= ln│cos t+ sin t│+C7. 对于第二项的积分，进行一次简单的u的代换: ∫(u²/ √(1 - u²)) du = - ∫-u / √(1 - u²) d(1 - u²) = - ∫du / 2√(1 - u²) = -arcsin u / 2 + C8. 对于第三项的积分，同样进行换元： ∫(u^4 / √(1 - u²)) du = - ∫ -(u²/ √(1 - u²)) d(u^3)= ∫ 3u^2 du / 2√(1 - u²) - ∫ 3u^2 du / 2√(1 - u²) *u^2= -3u√(1 - u²) / 2 + 3/8 arcsin^2 u + C将三部分积分结果相加，即可得到原积分∫cos⁴xdx= ln│cos t+ sin t│-arcsin u / 2 -3u√(1 - u²) / 2 + 3/8 arcsin^2 u + C将u = sin x代入原积分，即可得到：∫cos⁴x dx = ln│cos x + sin x│-arcsin(sin x) / 2 -3sin x cos³x/ 2 + 3/8 arcsin²(sin x) + C
