目前滨南体育馆归上海市体育局管辖。
因为根据《中华人民共和国体育法》和《上海市体育条例》的规定,上海市体育局是上海市体育事业的行政管理机关,负责上海市体育工作的组织、指导和监督。而滨南体育馆作为上海市体育之窗,是城市体育和大众体育活动的重要场馆之一,自然也归上海市体育局管辖。除了滨南体育馆,上海市体育局还管理着上海市内众多的体育场馆和项目,如上海国际体育中心、上海田径中心、上海游泳馆等。上海市体育局的工作重点是促进全民健身、提高全民体质水平、推动体育产业发展等方面,为上海市民提供更加优质的体育场馆设施和服务,促进全民健康和城市发展。